qanando prendiamo una sbarra e diamo una perturbazione dalla sbarra (ad
esempio un colpo) vogliamo vedere dove va a finire il nuovo punto alla
posizione $x$ come si comporta $x+\xi(x,t)$, cio\'e vogliamo conoscere
la funzione di spostamento $\xi(x,t)$.

{\bf DISEGNO}

La forza a destra vale
\begin{equation}
F(x,t) = S \, E \, \frac{\partial \xi(x,t)}{\partial x}
\end{equation}

mentere la forza che che viene dalla parte sinistra \`e
\begin{equation}
- F(x- dx,t)
\end{equation}

allora da ref ref la forza totale vale
\begin{equation}
F(x,t) - F(x-dx,t) = \rho \, S \, dx \, x_{CM}
\end{equation}
dove $\rho \, S \, dx$ \`e la massa del pezzettino della sbarra
considerata.

L'accelerazione $a=\ddot{x}_{CM}$ dove
\begin{equation}
x_{CM} = \frac{x-dx \xi(x-dx,t) + x + \xi(x,t)}{2}
= x +  x + \frac{\xi(x) + \xi(x-dx)}{2} - \frac{dx}{2}
= x + \{\xi}(x,t) + \Theta(dx)
\end{equation}
dove si \`e sottointeso il tempo e si \`e sviluppato in serie la
frazione centrale.

Derivato due volte diventa
\begin{equation}
\ddot{x}_{CM} = \ddot{\xi}(x,t)
\end{equation}
e ref precendente

\begin{equation}
F(x,t) - F(x-dx,t) = \rho \, S \, dx \, \ddot{\xi}(x,t)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial F(x,t)}{\partial x} = \rho \, S \, \ddot{\xi}
\end{equation}

\begin{equation}
S \, E \, \xi'' = \rho \, S \, \ddot{\xi}
\end{equation}

\begin{equation}
\ddot{\xi} = v^2 \xi''
\end{equation}

\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}
\end{equation}
nella barra
\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{T}{\rho_l}}
\end{equation}


nelle condizioni al contorno, estremo libero
\begin{equation}
\{
\xi(0,t) = 0 \\
F(l_0,t) = 0 \\
\frac{\partial \xi(l_0,t)}{\partial \xi} = 0
\end{equation}
nel caso di estremo fisso
\begin{equation}
\{
\xi(0,t) = 0 \\
\xi(l_0,t) = 0
\end{equation}

calcolare l'energia potenziale con le molle
\begin{equation}
E = \frac{S}{2} \int_0^{l_0} dx \, \left[ \rho \left(\frac{\partial
\xi(x,t)}{\partial t}\right)^2 + E \left(\frac{\partial
\xi(x,t)}{\partial x}\right)^2 \right]
\end{equation}


\subsecion{Esercizio 9.8}
\begin{equation}
\rho_{AL}= 2.7 \, 10^3 \ \frac{kg}{m^3}
\end{equation}

\begin{equation}
E_{AL} = 0.7 \, 10^{11} \ \frac{N}{m^2}
\end{equation}
mah?????????

\subsection{Esempio (teroria?) sulle onde sonore}

Bisogna vedere se la propagazione di queste onde \`e un processo
adiabatico, isoterma o ...

{\bf DISEGNO}

Consideriamo un tubo di gas con un estremo chiuso, l'altro non ha
importanza. Prendiamo un punto alla posizione $x$ e dopo la
perturbazione sonora si sposta alla posizione $x + \xi(x,t)$. $S$ \`e la
sezione e la densit\`a \`e costante rispetto a $y$ e $z$: $\rho(x,t) =
\rho_0 + \hat{\rho}(x,t)$ e anche per la pressione $p(x,t) = p_o +
\hat{p}(x,t)$ la pressione e la densit\`a variano rispetto ad una
pressione media di un pochino in funzione della coordinata $x$.

Per la conservazione della massa si ha
\begin{equation}
S \, \rho_0 \, dx  = S  \left[ \rho_0 + \hat{\rho}(x,t) \right]
\left[ x + dx + \xi(x+dx) - x - \xi(x) \right]
\end{equation}
ignorando il tempo. Note: nella prima egualianza non si \`e inserito
$\rho(x,t)$ ma $\rho_0$ in quanto \`e gia presente $dx$ \`e inutile
inserire termini di orndine superiore. L'egualiaza esprime che lo stato
prima della perturbazione deve essere eguale anche dopo.

Semplificando diventa
\begin{equation}
S \, \rho_0 \, dx  = S  \left[ \rho_0 + \hat{\rho}(x,t) \right]
\left[dx \frac{\partial \xi}{\partial x} \right] = 
S  \left[ \rho_0 + \hat{\rho}(x,t) \right] \, S \, dx \right(1 +
\frac{\partial \xi}{\partial x} + \Theta(dx) \left)
\end{equation}
quindi moltiplicando
\begin{equation}
\rho_0 = \rho_0 + \hat{\rho}(x',t) + \frac{\partial \xi}{\partial x} \rho_0 + 
\frac{\partial \xi}{\partial x} \hat{\rho}(x',t) + \Theta(dx)
\end{equation}
e semplificando e trascurando gli ordini superiori
\begin{equation}
\hat{\rho}(x',t) = - \rho_0 \frac{\partial \xi}{\partial x} - 
\hat{\rho}(x',t)\frac{\partial \xi}{\partial x}
\end{equation}
il secondo termine \`e di orndine superiore in $\xi$ in quanto sia
$\hat{\rho}$ che $\frac{\partial \xi}{\partial x}$ sono ``lieari'' in $\xi$,
cio\'e insieme sono ``quadratici'', quindi di orndine superiore -> da
ignorare.


\begin{equation}
x' = \frac{x + \xi(x,t) + x + dx \xi(x+dx,t)}{2}
= x + \xi{x,t} + \Theta(dx)
\end{equation}

e calolare la rho cappello
\begin{equation}
\hat{\rho}(x + \xi) = \hat{\rho}(x) + \xi \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial x}
\end{equation}
allo stesso modo il secondo termine \`e quadratico rispetto a $\xi$ e
quindi da ignorare.

dalle due equazioni (in cui ignoramo i quadrati rispetto a $\xi$) troviamo
\begin{equation}
\hat{\rho}(x) = \hat{\rho}(x',t)
\end{equation}

le equazioni importanti risultano essere


\begin{equation}
\rho (x,t) = \rho_0 + \hat{\rho}(x,t)
\end{equation}
\begin{equation}
p(x,t) = p_0 + \hat{\rho}(x,t)
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{\rho}(x,t)= - \rho_0 \frac{\partial \xi(x,t)}{\partial x}
\end{equation}



\begin{equation}
\beta_A  = - V \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_A
\end{equation}
per l'equazioni dei gas ideali
\begin{equation}
P = \frac{n R T}{V}
\end{equation}
comporta nella caso di un isoterma
\begin{equation}
\beta_T= \frac{nRT}{V} = P
\end{equation}
nel caso di un'adiabatica
\begin{equation}
P = c V^{-\gamma}
\end{equation}
quindi
\begin{equation}
\beta_S = - V \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_S = \gamma P
\end{equation}


Il volume e la densit\`a sono tali da avere massa constante
\begin{equation}
\beta_A  = - V \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_A
= - \left(\frac{\partial P}{\partial \log{V}}\right)_A
\end{equation}
\`e la stessa cosa. Quindi il modulo di compressivit\`a
\begin{equation}
d \log{V} = - d \log{\rho} + cost = d \log{\rho}
\end{equation}
scompaiono le costanti nella derivata

Quindi
\begin{equation}
(d P)_A = \beta (d \log{\rho})_A
\end{equation}
e riscrivendo
\begin{equation}
\rho (d P)_A = \beta_A (d\rho)_A
\end{equation}


dalle formule generali e dalla precendente
\begin{equation}
\rho_0 \, \hat{P} = \beta_A \hat{\rho}
\end{equation}
e quindi
\begin{equation}
\hat{\rho}(x,t) = - \beta_A \frac{\partial \xi(x,t)}{\partial x}
= - \gamma \, P_0 \frac{\partial \xi(x,t)}{\partial x}
\end{equation}

adesso dobbiamo ricavarci la equazione del moto. La forza complessiva
per il volumetto \`e
\begin{equation}
S (P(x,t) - P(x+dx,t)) = S \, dx \, \rho_0 \, \ddot{x}_{CM}
= S \, dx \, \rho_0 \, \frac{\partial^2 \xi(x,t)}{\partial t^2}
\end{equation}
e dobbiamo egualiarla alla massa. Da cui semplificando
\begin{equation}
- \frac{\partial P(x,t)}{\partial x} = \rho_0 \ddot{\xi}(x,t)
\end{equation}
e quindi troviamo che
\begin{equation}
\ddot{\xi} = \frac{\beta_A}{\rho_0} \xi''
\end{equation}

di nuovo ci viene una equazione d'onda in cui la velocit\`a \`e data da
\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{\beta_A}{\rho_0}}
\end{equation}

o nei due casi
\begin{equation}
v = \{
 \sqrt{\frac{R \, T}{M_A}} \quad T=costante\\
 \sqrt{\frac{\gamma \, R \, T}{M_A}} \quad S=costante\\
\end{equation}

{\bf Mancano alcuni dati dei valori dei gas}


\subsection{Modi normali}


\begin{equation}
\end{equation}

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